Неравенство Харди для веса Якоби

Предположим, что $\rho\in (0,1)$, $q>0$ и $\nu \in \left[0,\frac{1}{q}\right]$. Через $j_{\nu}$ обозначим первый положительный корень функции Бесселя $J_{\nu}$ порядка $\nu$. Мы показали, что для любой абсолютно непрерывной функции $u$, такой что $u(-\rho)=u(\rho)=0$ и $u'\in L^2(-\rho,\rho)$ справедливо следующее одномерное неравенство типа Харди
$$ P_q\int\limits_{-\rho}^\rho\frac{|g(t)|^2}{(1-t^2)^{2-q}}dt < \int\limits_{-\rho}^\rho g'^2(t)dt $$
где $q_0 \approx \frac{\pi^2}{18}$, $\alpha\in(0,q_0)$,
$$ P_q = \begin{cases} 1&, \quad\text{при}\quad q=0; \\ \lambda_q &, \quad\text{при} \quad q\in (0,q_0); \\ \left(\frac{\lambda_\alpha}{2^\alpha}\right)^{\frac{1-q}{1-\alpha}}2^{q} &,\quad\text{при} \quad q\in (q_0,1];\\ 2&, \quad\text{при}\quad q=1; \end{cases} $$
и $\sqrt{\lambda_q }/q$ первый положительный корень уравнения
\begin{equation}\nonumber -q^2\lambda^2+q \lambda \frac{J_{\nu-1}\left(\lambda\right)}{J_\nu\left(\lambda\right)}= 0, \quad \lambda\in (0, j_\nu). \end{equation}
Используя это неравенство, мы получаем достаточные условия однолистности Нехари-Покорного для аналитических в единичном круге $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}: |z|<1\}$ функций. Справедлива
Теорема 1. Пусть $f$ — мероморфная в $\mathbb{D}$ функция. Если $n\in \mathbb{N}$, $a_k$, $\mu_k$, $k=\overline{1,n}$ — положительные числа и для модуля производной Шварца функции $f$ выполнено неравенство
$$ |S_f(z)| \leq \sum_{k=1}^n \frac{b_k A(\mu_k)}{(1-|z|^2)^{\mu_k}}, \quad z\in \mathbb{D}, $$
где $b_k=\frac{2P_{2-\mu_k}}{A(\mu_k)}a_k$, $a_1+a_2+ \ldots + a_n\leq 1$, $0\leq \mu_1\leq \mu_2\leq \ldots \leq \mu_n\leq 2$ и
$$ A(\mu)= \begin{cases} 2^{3\mu-1}\pi^{2(1-\mu)}, & 0\leq \mu \leq 1, \\ 2^{3-\mu}, & 1\leq \mu \leq 2; \end{cases} $$
то функция $f$ однолистна в $\mathbb{D}$.