Интегральные неравенства для мероморфных функций и разностей субгармонических

Основная характеристика поведения и роста мероморфных функций $f$ на комплексной плоскости $\mathbb C$ — характеристика Неванлинны $T(r,f)$, $r>0$. С начала XX в. известно, что невозможно оценить рост максимума модуля $M(r,f)$ функции $|f|$ на окружностях радиуса $r$ с центром в нуле через $T(r,f)$, как и наоборот — $T(r,f)$ через $M(r,f)$. Но ряд классических и недавних результатов [1]–[2] теории Неванлинны показывают, что возможна оценка интегралов от $\ln M(r,f)$ по мере Лебега по подмножествам на отрезках $[0,r]$ или интегралов от функций $\ln|f|$ по длине малых дуг на окружностях радиуса $r$ с центром в нуле через $T(R,f)$ при любых $R>r$, а также по плоской мере Лебега по малым подмножествам в $\mathbb C$.
В 2021 году нам удалось в критериальной форме полностью завершить исследования по этой тематике для мероморфных функций на $\mathbb C$ и на замкнутых кругах $\overline D(R)$ радиуса $r$ с центром в нуле как для интегралов Лебега – Стилтьеса от функций $\ln M(r,f)$ по призвольным возрастающим функциям $m$, так и для интегралов от $\ln|f|$ по произвольным мерам Бореля $\mu$ на $\overline D(r)$ с $r<R$. Все эти результаты изначально устанавливаются нами в более общем субгармоническом обрамлении для разностей $U=u-v$ субгармонических функций $u\not\equiv -\infty$ и $v\not\equiv -\infty$, т.е. $\delta$-cубгармонических функций $U\not\equiv \pm\infty$, в шарах евклидова конечномерного пространства размерности $\geq 2$. При этом носители мер $\mu$ или множеств непостоянства возрастающих функций $m$ могут иметь фрактальную природу. В этом случае оценки приводятся в терминах $h$-меры или $h$-обхвата Хаусдорфа носителей. Особое место, важное в некоторых применениях, занимают оценки интегралов от $\ln |f|$ по длине по спрямляемым подмножествам липшицевых кривых. Такие же оценки можно дать для интегралов от $\delta$-субгармонических функций по площади по спрямляемым подмножествам липшицевых гиперповерхностей.
Работа выполнена в рамках реализации Программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2021-1393).