Следы пространств Соболева на произвольных замкнутых подмножествах $\mathbb R^{n}$, случай $p\in(1,n]$

Пусть $S \subset \mathbb{R}^{n}$ – произвольное непустое компактное множество, у которого $d$-обхват по Хаусдорфу $\mathcal{H}^{d}_{\infty}(S) > 0$ при некотором $d \in (0,n]$. При каждом $p \in (\max\{1,n-d\},n]$ мы даем почти точное внутреннее описание пространства следов $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})|_{S}$ пространства Соболева $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$. Более того, при каждом $\varepsilon \in (0, \min\{p-(n-d),p-1\})$ мы строим новый линейный ограниченный оператор продолжения $\operatorname{Ext}_{S,d,\varepsilon}$, отображающий пространство $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})|_{S}$ в пространство $W_{p-\varepsilon}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ такой, что $\operatorname{Ext}_{S,d,\varepsilon}$ – правый обратный оператор для соответствующего оператора следа. Конструкция оператора $\operatorname{Ext}_{S,d,\varepsilon}$ не зависит от $p$ и использует новые деликатные комбинаторные методы.