Нильпотентная аппроксимация и горизонтальная соединимость на пространствах Карно-Каратеодори

Рассмотрим $C^1$-гладкие базисные векторные поля $X_1,\dots,X_N$, определенные в некоторой области $\mathcal{D}\subset\Bbb R^N$, т. е. такие, что векторы $X_1(g),\dots,X_N(g)$ линейно независимы в каждой точке $g\in \cal D$. Пусть каждому векторному полю $X_i$ присвоено натуральное число $\deg i$, $1\leq \deg i\leq\Upsilon\leq N$, (степень поля), так что $\deg i\leq \deg j$ в случае $i<j$, $\deg 1=1$, и коммутаторы векторных полей $X_1,\dots,X_N$ в $\cal D$ удовлетворяют соотношениям $ [X_i,X_j]=\sum\limits_{\deg k\leq\deg i+\deg j}C_{ij}^kX_k$. Для каждого $l\in\{1,\dots,\Upsilon\}$ обозначим через $H_l$ подрасслоение векторного слоения $T\cal D$, порожденное всеми векторными полями $X_i$ такими, что $\deg i\leq l$. Полагаем, что размерность $\dim (H_{l}(g))=h_l$ не зависит от выбора $g\in \cal D$. Таким образом, мы имеем следующую фильтрацию $H_1\subset H_2\subset\ldots \subset H_{\Upsilon}=T\cal D$. При некоторых дополнительных условиях, связанных с определением векторных полей степени большей $1$, любые две точки $u,v\in \cal D$ можно соеднить горизонтальной кривой конечной длины, т.е. такой абсолютно непрерывной кривой $\gamma(s):[0,s_0]\to\cal D$, что для п.в. $s\in[0,s_0]$ выполняется $\dot{\gamma}(s)\in H_1(\gamma(s))$. Тогда определяется расстояние Карно — Каратеодори $d_{cc}(u,v)$ как точная нижняя грань длин горизонтальных путей, соединяющих точки $u,v$; в этом случае пара $(\mathcal{D},d_{cc})$ называется локальным эквирегулярным пространством Карно — Каратеодори. Однородная нильпотентная аппроксимация пространства $(\mathcal{D},d_{cc})$, согласованная с его фильтрацией, в некоторой окрестности $V_g$ точки $g$ является группой Карно $\Bbb G_g$ глубины $\Upsilon$ с базисом левоинвариантных векторных полей $X^g_1,\dots,X^g_N$, удовлетворяющих соотношениям $ [X^g_i,X^g_j]=\sum\limits_{\deg k=\deg i+\deg j}C_{ij}^k(g)X^g_k$ (см. детали в [1-3]).
Рассмотрим 4-мерное эквирегулярное пространство Карно—Каратеодори такое, что $h_1=2$, $h_2=1$, $h_3=1$. В этом случае группа Карно $\Bbb G_g$ представляет собой группу Энгеля. Из результатов работы [4] следует, что найдется окрестность $U_g\subset V_g$ точки $g$ такая, что любая точка $w\in U_g$ соединяется с точкой $g$ 4-звенной горизонтальной ломаной $L'_{g}(w)$, определенной при помощи векторных полей $X^g_1$, $X^g_2$, причем семейство ломаных $\{L'_{g}(w)\}$ непрерывно зависит от точки $w$. Тогда, используя методы работы [1], мы получаем, что найдется окрестность $U_g'\subset U_g$ такая, что любая точка $w\in U'_g$ соединяется с точкой $g$ 4-звенной горизонтальной ломаной $L_{g}(w)$, определенной при помощи векторных полей $X_1$, $X_2$, причем семейство ломаных $\{L_{g}(w)\}$ непрерывно зависит от точки $w$. \smallskip
Работа поддержана Математическим Центром в Академгородке, соглашение № 075-15- 2019-1613 с министерством науки и высшего образования Российской Федерации.