Квантовое исчисление в пространствах функций

Одной из целей некоммутативной геометрии является перевод основных понятий анализа на язык банаховых алгебр. Этот перевод осуществляется с помощью процедуры квантования, устанавливающей соответствие между функциональными пространствами и алгебрами ограниченных операторов в гильбертовом пространстве $H$. Указанное соответствие, называемое квантовым, сопоставляет дифференциалу $df$ функции $f$ коммутатор ее операторного образа с некоторым оператором симметрии $S$, являющимся самосопряженным оператором в $H$ с квадратом $S^2=I$. Образ $df$ при этом называется квантовым дифференциалом $d^qf$ функции $f$ и этот дифференциал, в отличие от дифференциала $df$, корректно определен даже для негладких функций $f$. Возникающее операторное исчисление называется квантовым.
В докладе будет приведен целый ряд утверждений из этого исчисления, касающихся интерпретации идеалов Шэттена компактных операторов в гильбертовом пространстве в терминах функциональных пространств на окружности и вещественной прямой. Главное внимание уделяется случаю операторов Гильберта–Шмидта. Роль оператора симметрии $S$ выполняет при этом преобразование Гильберта. В случае функциональных пространств нескольких вещественных переменных оператор симметрии удается определить в терминах операторов Рисса и матриц Дирака.