Рациональные приближения к двум иррациональным числам

Для вещественного числа $\xi$ мы рассматриваем функцию меры иррациональности $\psi_\xi(t) = \min_{1\leqslant q \leqslant t, q\in\mathbb{Z}} || q\xi ||$, где $||\cdot||$ - расстояние до ближайшего целого. В 2009 году Кан и Мощевитин доказали, что если $\alpha\pm\beta\notin\mathbb{Z}$, то разность $\psi_\alpha(t)- \psi_\beta(t)$ меняет свой знак бесконечно много раз при $t\to\infty$. В 2017 году Дубицкасу удалось показать, что если $\alpha\pm\beta\notin\mathbb{Z}$, то последовательность значений
$$d(n) = \Bigl | \frac{1}{\psi_\alpha(n)} - \frac{1}{\psi_\beta(n)} \Bigl | $$
является неограниченной. Наконец, в 2019 году Мощевитин получил следующий результат:
$$ | \psi_\alpha(t) - \psi_\beta(t) | \geqslant K\cdot \min( \psi_\alpha(t), \psi_\beta(t) ) \quad \text{для бесконечно многих} \,\,t,$$
где $K=\sqrt\tau-1=0.2720^+,$ а $\tau = \frac{\sqrt5 +1}{2} - \,\,\text{золотое сечение}$. Было также показано, что константа $K$ является оптимальной. Используя классическую оценку $\psi_\xi(t) \le \frac{1}{t}$, Мощевитин получил улучшение результата Дубицкаса о последовательности $d(n)$, а именно
$$ d(t)=\Bigl | \frac{1}{\psi_\alpha(t)} - \frac{1}{\psi_\beta(t)} \Bigl | \geqslant Kt \quad \text{для бесконечно многих} \,\,t. $$
Данный результат оптимальным не является, поэтому в нашем докладе мы докажем оптимальную оценку
$$\Bigl | \frac{1}{\psi_\alpha(t)} - \frac{1}{\psi_\beta(t)} \Bigl | \geqslant Ct \quad \text{для бесконечно многих } \,\, t . $$
Константа $C$ связана с $K$ соотношением $C = K(\sqrt{\tau}+\tau^{-3/2})=\sqrt5(1-\sqrt{\phi})=0.47818^+,$ где $\phi = \frac{\sqrt5 -1}{2}$.