Последовательные простые числа на коротких интервалах и смежные вопросы

Доклад будет состоять из трех частей, связанных друг с другом.
1) Мы планируем рассказать про оценку суммы
$$ \sum_{n\in A} \left(\frac{n}{\varphi(n)}\right)^{s}, $$
где $\varphi(n)$ — функция Эйлера, $s$ — натуральное число, $A$ — конечное мультимножество, состоящее из натуральных чисел. Полученные результаты мы применяем к аддитивным задачам теории чисел.
2) В 1934 г. Н. П. Романов доказал следующую теорему. Пусть $a$ — произвольное натуральное число, большее 1. Тогда существует число $c(a)>0$, зависящее только от $a$, такое, что для любого вещественного числа $x\geq 4$ имеем
\begin{align*} \#\{&1\leq n\leq x:\ \text{существуют простое число </nomathmode><mathmode>$p$ и неотрицательное }
&\text{целое число $j$ такие, что $p+a^j=n$}\}\geq c(a)x. \end{align*}
</mathmode><nomathmode> Мы планируем рассказать про некоторые результаты, связанные с теоремой Романова.
3) Мы получаем оценку снизу для
$$ \#\{x/2< p_{n}\leq x:\ p_n \equiv\ldots\equiv p_{n+m}\equiv a\text{ (mod $q$)},\ p_{n+m} - p_{n}\leq y\}, $$
где $p_{n}$ — $n$-е простое число.