О нетривиальной множественности положительных решений одного класса уравнений с $(p,q)$-Лапласом

Мы обсудим некоторые недавние результаты из работ [1-3], связанные с разрешимостью задачи Дирихле
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} -\Delta_p u -\Delta_q u &= \alpha |u|^{p-2}u+\beta |u|^{q-2}u &&\text{в}\ \Omega, \\ u&=0 &&\text{на}\ \partial \Omega, \end{aligned} \right. \end{equation*}
где $\Delta_r u = \text{div}\left(|\nabla u|^{r-2} \nabla u \right)$ при $r = p,q > 1$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ - параметры, $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ - гладкая ограниченная область, и мы считаем, без ограничения общности, что $q<p$. Данную задачу можно интерпретировать как нелинейную задачу на собственные значения оператора $(p,q)$-Лапласа. Мы покажем, что соотношение между значениями $p$ и $q$ влияет на существование и множественность положительных решений. В частности, если $p>2q$, то в определённой окрестности точки $(\alpha,\beta)=\left({\|\nabla \varphi_p\|_p^p}/{\|\varphi_p\|_p^p},{\|\nabla \varphi_p\|_q^q}/{\|\varphi_p\|_q^q}\right)$ положительные решения задачи формируют $S$-образную бифуркационную диаграмму, т.е. задача имеет по крайней мере три положительных решения. Здесь $\varphi_p$ обозначает первую собственную функцию $p$-Лапласа. С другой стороны, если при заданных $p$ и $q$ выполнено неравенство
\begin{equation*} (q-1) s^p + q s^{p-1} - (p-q) s + (q-p+1) \geq 0 \quad \text{для всех}\ s \geq 0, \end{equation*}
то задача не имеет положительных решений при $\alpha={\|\nabla \varphi_p\|_p^p}/{\|\varphi_p\|_p^p}$ и всех $\beta>{\|\nabla \varphi_p\|_q^q}/{\|\varphi_p\|_q^q}$.