Коммутативные алгебраические моноиды на аффинных поверхностях

Доклад основан на совместных работах с И.В. Аржанцевым и С.Д. Брагиным [1] и Сергеем Джунусовым [2].
Говорят, что на аффинном пространстве $\mathbb{A}^n$ задана структура коммутативного алгебраического моноида, если есть полиномиальная коммутативная ассоциативная бинарная операция $\mu\colon \mathbb{A}^n \times \mathbb{A}^n \to \mathbb{A}^n$, $(x,y) \mapsto x*y$, обладающая нейтральным элементом. Например, можно доказать, что с точностью до изоморфизма любая структура коммутативного алгебраического моноида на $\mathbb{A}^2$ над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль задается одной из следующих операций:
$$\begin{aligned} (x_1, x_2) * (y_1, y_2) &= (x_1+y_1, x_2+y_2)\\ (x_1, x_2) * (y_1, y_2) &= (x_1y_1, x_2y_2)\\ (x_1, x_2) * (y_1, y_2) &= (x_1y_1, x_2y_1^k+y_2x_1^k), \, k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \end{aligned}$$

Аналогичным образом определяются моноиды на произвольном алгебраическом многообразии $X$. Я расскажу про полученные классификации структур коммутативных моноидов на аффинных пространствах и нормальных аффинных поверхностях.