Многоуровневая интерполяция системы Никишина

Cистема Никишина строится по набору генерирующих борелевских мер $(\sigma_1,\ldots,\sigma_d)$ с носителями на отрезках $\mathrm{supp}\,\sigma_j=\Delta_j$, $\Delta_j\cap\Delta_{j+1}=\varnothing$. Пусть $s_{j,j}:={\sigma_j}$,
далее, индукция по $|k-j|$: $ds_{j,k}:= \widehat{s}_{j+1,k}\,{d\sigma_j}$ при $k>j$ и $ds_{j,k}:= \widehat{s}_{j-1,k}\,{d\sigma_j}$ при $k<j$, где $\widehat s(z):=\int(z-x)^{-1}ds(x)$ — преобразование Коши.
Рассмотрим [1,2] следующие интерполяционные задачи: для произвольного мультииндекса $\vec n\in\mathbb Z_+^d$ найти многочлены $q_{\vec n,0},q_{\vec n,1},\ldots, q_{\vec n,d}$ и $p_{\vec n,0},p_{\vec n,1},\ldots, p_{\vec n,d}$ такие, что $\mathrm{deg}\,q_{\vec n,j}< |\vec n|:=n_1+\cdots+ n_d$ и выполнены интерполяционные условия при $z\to\infty$ и $j=1,\ldots, d$:
\begin{align}\label{eq-11} {q}_{\vec{n}}:=q_{\vec{n},0}+\sum_{k=1}^d \widehat{s}_{1,k}q_{\vec{n},k}={z^{-|\vec n|}}({1+o(1)}),\qquad& q_{\vec{n},j}+\sum_{k=j+1}^d \widehat{s}_{j+1,k}q_{\vec{n},k}=O(z^{n_j-1}), \\\label{eq-12} {p}_{\vec{n}}:= {p}_{\vec{n},0}={z^{|\vec n|}}({1+o(1)}),\qquad&\sum_{k=1}^j p_{\vec{n},k-1}\widehat{s}_{j,k}+p_{\vec{n},j} =O(z^{-n_j-1}). \end{align}

Задачи \eqref{eq-11}, \eqref{eq-12} двойственны друг другу и определяют многоуровневые аппроксимации Эрмита–Паде. Для любого $\vec n$ решение каждой из задач существует и единственно. Частные случаи были рассмотрены в связи с интегрируемыми системами [3,4] и биортогональными многочленами [5].
Мы обсудим алгебраические и аналитические свойства этих интерполяций. В частности, покажем, что решения удовлетворяют рекуррентным соотношениям на решетке индексов при $k=1,\ldots, d$:
\begin{align}\label{eq-13} z q_{\vec n}(z)&= q_{\vec n-\vec e_k}(z)+ b_{\vec n-\vec e_k,k} q_{\vec n}(z)+\sum_{j=1}^d a_{\vec n,j} q_{\vec n+\vec e_j}(z), \\\label{eq-14} zp_{\vec n}(z)&=p_{\vec n+\vec e_k}(z)+ b_{\vec n,k}p_{\vec n}(z)+\sum_{j=1}^d a_{\vec n,j} p_{\vec n-\vec e_j}(z), \end{align}
где $(\vec e_1,\ldots,\vec e_d)$ — стандартный базис в $\mathbb R^d$, а $b_{\vec n-\vec e_k,k}:=c_{\vec n}- c_{\vec n-\vec e_k }$, $a_{\vec n,j}:=c_{\vec n,j}/c_{\vec n-\vec e_j,j}$:
\begin{equation*} c_{\vec n}:=\int x^{|\vec n|}\sum_{k=1}^dq_{\vec n,k}(x)d s_{1,k}(x),\qquad c_{\vec n,j}:= \int x^{n_j}\sum_{k=1}^j p_{\vec{n},k-1}(x) d{s}_{j,k}(x). \end{equation*}
Современные приложения связаны с теорией матриц Якоби на графах [6]. Для каждого узла $\vec n$ решетки рассмотрим набор всевозможных путей в $\mathbb Z_+^d$, ведущих из $\vec 0$ в $\vec n$. Совокупность всех путей образует $d$-однородное дерево. Определена каноническая проекция с дерева на решетку, которая отображает путь в его концевой узел. Обратная операция поднятия соотношений \eqref{eq-13} и \eqref{eq-14} на дерево путей определяют [7] спектральные задачи с матрицами Якоби на однородных деревьях. Мы рассмотрим вопрос ограниченности соответствующего оператора.