Локальная разрешимость задачи со свободной границей для магнитогидродинамического контактного разрыва

Граничные условия для контактных разрывов в магнитной гидродинамике (МГД) идеальной сжимаемой жидкости – наиболее типичные в астрофизической плазме. Контактные разрывы наблюдаются, например, за ударными волнами, ограничивающими остатки сверхновой. С математической точки зрения контактный разрыв, как и МГД тангенциальный разрыв [1], является свободной характеристической поверхностью для системы гиперболических законов сохранения. В докладе обсуждается локальная по времени разрешимость соответствующей задачи со свободной границей. Для двумерного случая доказана теорема существования и единственности гладкого решения этой задачи при условии, что в начальный момент времени в каждой точке контактного разрыва выполнено условие Рэлея–Тейлора на знак скачка производной давления по направлению нормали к разрыву. При МГД моделировании крупномасштабных явлений, например, в астрофизической плазме обычно пренебрегают эффектами поверхностного натяжения и вязкости. Однако даже для таких явлений иногда полезно учитывать поверхностное натяжение, как стабилизирующий механизм в численном моделировании магнитной неустойчивости Рэлея–Тейлора, предотвращающий некорректность задачи. Для общего трехмерного случая удается доказать локальное существование МГД контактного разрыва при любом ненулевом коэффициенте поверхностного натяжения и без предположения выполнения условия Рэлея–Тейлора. Доказательство базируется на адаптации методов (в частности, метода Нэша–Мозера), использованных в [1-4] для задач со свободными границами без учета поверхностного натяжения, но принципиальным его отличием является преодоление некоторой трудности, связанной с доказательством существования решений соответствующей линеаризованной задачи. Результаты, которые обсуждаются в докладе, получены совместно с Алессандро Морандо и Паолой Требески [3] (Брешианский университет, Италия), а также с Тао Ван [5] (Уханьский университет, Китай).