Многочлены и групповые алгебры в комбинаторике

Полиномиальный метод в комбинаторике применяется давно и плодотворно. В 1990-х годах новый импульс ему был дан в работах Алона, предложившего нашедшую множество приложений комбинаторную теорему о нулях. Около десяти лет назад в нескольких независимых работах (Шауз, Ласон, Карасёв – Петров) была предложена её явная форма — формула, восстанавливающая коэффициент многочлена по его значениям на конечной решётке подходящего размера. Она привела к ряду новых приложений в перечислительной и аддитивной комбинаторике. В частности, была доказана (Каройи, Надь, Волков, Петров) гипотеза Форрестера о значении интеграла типа Сельберга, возникающего в квантовой электродинамике. Основанный на сочетании схожих идей, линейно-алгебраических и вероятностных аргументов метод Крута, Льва и Паха (2016) позволил принципиально улучшить ряд оценок в комбинаторике аддитивных групп, являющихся произведениями большого числа небольших сомножителей. Выяснилось, что принципиальное свойство группы, отвечающей за эти эффекты — наличие большого количества делителей нуля в её групповой алгебре. В докладе я хотел бы обсудить эти явления и остающиеся вопросы.