Поля плоскостей и магические бильярды

Доклад основан на совместной работе с Алексеем Глуцюком.
В 1980 году В. Иврий предположил, что для любого бильярда с бесконечно гладкой границей множество периодических траекторий имеет меру нуль. Эта гипотеза до сих пор не доказана. В докладе будет объяснено, как свести гипотезу Иврия к случаю бильярда с кусочно-аналитической границей.
В доказательстве используется техника интегрирования полей плоскостей. Рассмотрим поле плоскостей размерности $d$ (то есть в каждой точке пространства выбрана $d$-мерная плоскость). Теорема Фробениуса позволяет ответить на вопрос, существуют ли $d$-мерные поверхности, всюду касающиеся нашего поля плоскостей. Применяя похожие рассуждения (см. П. К. Рашевский, «Геометрическая теория уравнений с частными производными»), можно выяснить, существует ли $m$-мерная интегральная поверхность и при $m<d$.
В докладе будут рассказаны эти рассуждения и показана связь этой теории с гипотезой Иврия.