Перколяция и аменабельность

Перколяция (или просачивание) — хорошо изученная стохастическая модель многих физических явлений, изначально определенная и обычно изучаемая на кубических решетках. Один из классических результатов утверждает, что эта модель имеет ровно один фазовый переход в $\mathbb{Z}^d$. В последние два десятилетия параллельно с исследованием классической модели активно развивалось изучение перколяции на графах с неевклидовой геометрией. Было отмечено, в частности, что перколяция на неаменабельных графах может иметь качественно другие свойства, чем на евклидовых решетках, например, Гриммет и Ньюман пронаблюдали два фазовых перехода в перколяции на прямом произведении $\mathbb{Z}$ и бесконечного дерева.
Понятие аменабельности было введено Джоном фон Нейманом и связано с парадоксом Банаха–Тарского для групповых действий. Долгое время считалось, что аменабельность счетной группы эквивалентна отсутствию свободной подгруппы. Впоследствии были построены контрпримеры, и до сих пор не удалось охарактеризовать аменабельность в чисто алгебрических терминах. Тем не менее существует множество эквивалентных определений аменабельности на разных математических языках. Например, вероятностный критерий Кестена, который утверждает, что группа аменабельна тогда и только тогда, когда спектральный радиус Марковского оператора простого случайного блуждания на группе равен 1.
Другое эквивалентное определение аменабельности, на языке перколяции, сформулировано в открытой гипотезе Беньямини и Шрамма (1996): группа аменабельна тогда и только тогда, когда в перколяции Бернулли на всех ее графах Кэли число бесконечных компонент равно п.н. 0 или 1. Классический результат для $\mathbb Z^d$ легко обобщается на случай произвольной аменабельной группы. В другом направлении гипотеза открыта, и лучший результат на сегодняшний день — это следующая теорема (Пак, Смирнова-Нагнибеда, 2000): любая неаменабельная группа имеет бесконечно много графов Кэли, для которых гипотеза верна.
Если позволит время, в конце доклада я также расскажу о том, как эта теорема про перколяцию позволила Габорио–Р. Лайонсу и И. Эпштейн–Монод решить две старых задачи об аменабельности, из теории меры и из теории представлений соответственно.
Все упоминаемые в докладе понятия будут определены и пояснены.