Комплексная геометрия многообразий с действием тора - 2

Торическая геометрия и топология даёт большое количество примеров многообразий с «нестандартными» комплексными структурами, т.е. некэлеровыми и даже не мойшезоновыми. Одним из основных классов таких примеров являются момент-угол-многообразия. Комплексное момент-угол-многообразие $Z$ задаётся некоторым набором комбинаторно-геометрических данных, включающих полный симплициальный (но не обязательно рациональный) веер. В случае рациональных вееров многообразие $Z$ является тотальным пространством голоморфного расслоения над торическим многообразием со слоем компактный комплексный тор. В этом случае инварианты комплексной структуры на $Z$, такие как когомологии Дольбо и числа Ходжа, могут быть описаны при помощи спектральной последовательности Бореля голоморфного расслоения.
В общем случае на комплексном момент-угол-многообразии $Z$ имеется каноническое голоморфное слоение $F$, эквивариантное под действием алгебраического тора. Примеры момент-угол-многообразий включают многообразия Хопфа, Калаби–Экманна и их деформации. Пара $(Z,F)$ из многообразия и голомофрного слоения также изучалась как модель для некоммутативных торических многообразий в работах Katzarkov, Lupercio, Meersseman, Verjovsky (arXiv:1308.2774) и Ratiu, Zung (arXiv:1705.11110).
Геометрия многообразий $Z$ и слоений $F$ весьма интересна и нестандартна. Основным инструментом для изучения геометрии комплексных момент-угол-многообразий $Z$ является трансверсально кэлерова форма для слоения $F$. Такая форма существует при некоторых ограничениях на комбинаторные данные. Путём интегрирования трансверсально кэлеровой формы доказывается, что любое кэлерово подмногообразие в момент-угол-многообразии $Z$ лежит в листе слоения $F$. Для общего момент-угол-многообразия $Z$ в своём комбинаторном классе все его подмногообразия являются момент-угол-многообразиями меньшей размерности, а значит число их конечно. Это влечёт, в частности, что $Z$ не допускает непостоянных мероморфных функций, т.е. его алгебраическая размерность равна нулю.
Battaglia, Zaffran (arXiv:1108.1637) вычислили базисные числа Бетти для канонического голоморфного слоения на момент-угол-многообразии $Z$, соответствующем расщепляемому (shellable) вееру. Ими была высказана гипотеза, что кольцо базисных когомологий в случае произвольного симплициального веера имеет тот же вид, что и кольцо когомологий полного симплициального торического многообразия (даваемое теоремой Данилова–Юркевича). Мы доказываем эту гипотезу. Доказательство использует спектральную последовательность Эйленберга–Мура; ключевым утверждением здесь является формальность модели Картана для действия тора на $Z$.

Список литературы

1. T. Panov and Yu. Ustinovsky, “Complex-analytic structures on moment-angle manifolds”, Moscow Math. J., 12:1 (2012), 149–172          
2. Т.Е. Панов, “Геометрические структуры на момент-угол-многообразиях”, УМН, 68:3 (2013), 111–186      
3. V.M. Buchstaber and T.E. Panov, Toric Topology, Mathematical Surveys and Monographs, 204, AMS, Providence, RI, 2015      
4. Taras Panov, Yuri Ustinovsky and Misha Verbitsky, “Complex geometry of moment-angle manifolds”, Math. Zeitschrift, 284:1 (2016), 309–333    
5. Hiroaki Ishida, Roman Krutowski and Taras Panov, “Basic cohomology of canonical holomorphic foliations on complex moment-angle manifolds”, Internat. Math. Research Notices, 2021 (to appear) , arXiv: 1811.12038