Мотивная дзета-функция

В 1949 году Вейль ввел понятие дзета-функции алгебраического многообразия $X$ над конечным полем $\mathbb{F}$. Это — формальный ряд от переменной $t$, заданный формулой: $Z(X,t) = \sum_n \#(S^nX)(\mathbb{F}) t^n$ . Здесь $S^nX$ — симметрическая степень $X$, $\#(S^nX)(\mathbb{F})$ — число $\mathbb{F}$-точек на ней. Вейль доказал, что если $X$ — кривая, то $Z(X,t)$ — рациональная функция. Позже Дворк, а еще чуть позже, другим методом, Гротендик, обобщили это утверждение на многообразия высшей размерности. В 2000 году Капранов предложил заменить в определении дзета-функции целое число $\#(S^nX)(\mathbb{F})$ на класс многообразия $S^nX$ в кольце Гротендика многообразий. Полученный ряд называется мотивной дзета-функцией $X$. Заметим, что поле $\mathbb{F}$, над которым определено многообразие, теперь может быть произвольным.
Капранов доказал, что если $X$ — кривая, на которой есть хотя бы одна $\mathbb{F}$-точка, то мотивная дзета-функция рациональна. Я расскажу про эти результаты Вейля, Капранова, а также докажу, что мотивная дзета-функция рациональна для любой кривой. Доклад основан на совместной работе с Глебом Терентюком и Константином Шрамовым.