Гомологии Хованова граф-зацеплений

Гомологии зацеплений, определенные Ховановым в конце XX-го века, стали первым представителем нового класса инвариантов узлов — категорификаций полиномиальных инвариантов, нахождение и исследование которых во многом определяло развитие теории в последние десять лет. Идея категорификации состоит в переходе от полиномиального инварианта узла к цепному комплексу, который строится по диаграмме узла и градуированная эйлерова характеристика которого совпадает с исходным полиномом. При этом требуется, чтобы гомологии комплексов, соответствующих разным диаграммам узла, совпадали между собой. Гомологии Хованова категорифицируют полином Джонса.
В 2007 году З. Жабо, Р. Ожват и Я. Расмусен предложили другую категорификацию полинома Джонса — нечетные гомологии Хованова. Нечетный комплекс Хованова иозоморфен обычному комплексу, но имеет другие дифференциалы. Нечетные и четные гомологии Хованова совпадают для альтернированных узлов и над полем характеристики два, но в общем случае ведут себя различно. В частности, обычные гомологии Хованова зацеплений не сохраняются при мутациях, а нечетные — сохраняются, как было доказано Дж. Блумом. Конструкция Блума позволяет распространить определение нечетных гомологий Хованова на теорию граф-зацеплений, определенную Д. П. Ильютко и В. О. Мантуровым. Теория граф-зацеплений является комбинаторным аналогом теории узлов, грубо говоря, кодирующим зацепления с точностью до мутаций. Построению категорификации полинома Джонса и построению нечетных гомологий Хованова в теории граф-зацеплений и будет посвящен доклад.