О проекциях типичного канторова множества в $\mathbb{R}^N$

Л.Антуан привел пример канторова множества на плоскости, все проекции которого такие же, как у правильного шестиугольника. К.Борсук построил канторово множество в $\mathbb{R}^n$, проекция которого на любую гиперплоскость содержит $(n-1)$-мерный шар, эквивалентно, имеет размерность $(n-1)$; а значит, его проекция на любую $m$-плоскость имеет размерность $m$. В 1994 г. Дж.Кобб построил канторово множество в $\mathbb{R}^3$, проекция которого на любую 2-плоскость одномерна, и поставил общий вопрос: существует ли, для заданных чисел $n>m>k>0$, такое канторово множество в $\mathbb{R}^n$, проекция которого на любую $m$-плоскость имеет размерность $k$? (Такие множества называем кратко $(n,m,k)$-множествами.) Для $m=k$ положительный ответ дается теоремой Борсука. Для случаев $(n, m, k=m-1)$ и $(n, m=n-1, k)$ такие множества были построены Фролкиной (2010) и S.Barov, J.J.Dijkstra, van der Meer (2012); обе эти работы развивают метод Кобба. Применяя факты из теории ручных и диких канторовых множеств, Фролкина получила новые примеры $(n, m, m)$- и $(n,n-1,n-2)$-множеств (2020, 2021).
Кобб отметил, что как канторовы множества, у которых все проекции имеют положительную размерность, так и те, у которых все проекции нульмерны, образуют плотные подмножества в пространстве $\mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$ всех канторовых множеств в $\mathbb{R}^n$. Мы показываем, что типичное канторово множество в $\mathbb{R}^n$ имеет общее положение относительно всех проекций; это дает ответ на вопрос Кобба (1994). Как следствие, канторовы множества, у которых хотя бы одна проекция не гомеоморфна канторову множеству, образуют в $\mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$ множество первой категории, т.е. являются исключительными в смысле категории Бэра.