Гомологии Хованова, монополи и мутации зацеплений

Взаимосвязи между гомологиями Хованова и Флоера лежат в основе таких замечательных результатов, как теорема Кронхаймера и Мровки о том, что гомологии Хованова распознают тривиальный узел. Я расскажу о спектральной последовательности от приведенных гомологий Хованова для зацепления в $S^3$ в монопольные гомологии Флоера разветвленного двулистного накрытия с коэффициентами в $Z/2Z$. Конструкция последовательности основывается на двух наблюдениях: 1. Комплекс Хованова для любого заданного зацепления может быть получен применением $(1+1)$-TQFT к кубу, вершинам которого соответствуют разведения, а ребрам — седловые кобордизмы в $S^3 \times [0,1]$. Тот же комплекс получится, если взять разветвленное двулистное накрытие этого куба и применить монопольный функтор Флоера, т.е. $(3+1)$-TQFT. 2. Используя ветвящееся двулистное накрытие, можно поднять тройное скейн-соотношение для гомологий Хованова и получить точный скейн-треугольник для гомологий Флоера. Я поясню их, предполагая, что слушатели знакомы с гомологиями Хованова (но необязательно с монопольными гомологиями Флоера). Мы также обсудим, как пользуясь этими наблюдениями можно переопределить нечетные гомологии Хованова, таким образом, чтобы они были априори инвариантны относительно мутаций. Ссылки: arXiv: 0909.0816, arXiv: 0903.3746.