Operations on universal enveloping algebra and the "argument shift" method

Если на пуассоновом многообразии М задано векторное поле Х, такое, что квадрат производной Ли в направлении Х "убивает" пуассонов бивектор, то имеется хорошо известный простой метод "сдвига аргумента" (вдоль Х) построения коммутативной подалгебры (относительно скобки Пуассона) в алгебре функций на М. В частном случае этот метод применим к скобке Пуассона-Ли на симметрической алгебре произвольной алгебры Ли и выдаёт (согласно известному результату - доказанной гипотезе Мищенко-Фоменко) максимальные коммутативные подалгебры в симметрической алгебре. Однако, подъём этих алгебр до коммутативных подалгебра в универсальной обёртывающей алгебре, хотя и возможен, основан на весьма нетривиальных результатах из теории бесконечно-мерных алгебр Ли. В своём рассказе я опишу частичные результаты, позволяющие построить на универсальной обёртывающей алгебре алгебры $gl_n$ операторы "квазидифференцирования" и с их помощью в некоторых случаях построить коммутативную подалгебру в $Ugl_n$. Я также опишу, как в общем случае этот вопрос сводится к комбинаторному вопросу коммутирования некоторого набора операторов в тензорных степенях $R^n$. Рассказ основан на совместных работах с Дмитрием Гуревичем, Павлом Сапуновым и Икеа Ясуши.