Аннотация:
В первой части доклада рассматривается следующая задача.
Пусть задан некоторый класс $\Gamma \subset L [-\pi, \pi)$.
Можно ли построить множество $H \subset [-\pi, \pi)$
малой меры, обладающее тем свойством,
что почти все значения произвольной функции $f \in \Gamma$
однозначно восстанавливаются по ее значениям на множестве $G$?
(Можно ли "закодировать"\vspace{0pt} значения функции $f \in \Gamma$
на множестве малой меры?)
В случае положительного ответа
сразу возникает второй вопрос: каким может быть процесс восстановления
("декодирования"\vspace{0pt}) значений $f$ на $[a,b)$ по ее значениям на $H$?
Оказывается, если наложить, в духе работ Зигмунда, минимальные ограничения
на скорость убывания коэффициентов Фурье функций, то
для каждого получившегося класса $\Gamma$ найдутся
открытые множества $H$ сколь угодно малой меры,
"кодирующие"\vspace{0pt} значения всех функций $f \in \Gamma$.
В качестве таких $H$ можно брать
дополнения некоторых множеств типа Райхмана–Зигмунда.
Приводится трехшаговый алгоритм для
восстановления значений произвольной функции $f \in \Gamma$ по
ее значениям на любом таком множестве $H$. Для
$f \in \Gamma$ можно также выписать формулу для расчета
ее коэффициентов Фурье, использующую лишь
значения $f$ на $H$.
Подобная ситуация имеет место и для
классов, определяемых коэффициентами Виленкина–Крестенсона на
$p$-ичных группах. В этом случае процесс
"декодирования"\vspace{0pt} функции проще и состоит из двух шагов.
В второй части доклада рассматриваются классические вопросы,
касающиеся $U$- и $V$-множеств.
В 2020 г. автором были построены перестановки
систем Виленкина–Крестенсона, для которых
существуют замкнутые $U$-множества положительной меры.
Это первые примеры полных ортогональных систем,
у которых имеются множества единственности положительной меры.
Выяснилось, что и для тригонометрической системы
такие перестановки существуют, а роль $U$-множеств могут исполнять
некоторые из множеств типа Райхмана–Зигмунда.
В этом вопросе можно зайти еще дальше
и получить результаты о восстановлении
коэффициентов тригонометрических рядов,
сходящихся по перестановкам на множестве малой меры
к конечным суммируемым функциям.
Для произвольных же перестановок
тригонометрической системы неизвестно,
имеет ли место единственность хотя
при сходимости к нулю всюду.
Это давно стоящая открытая проблема, поставленная
С. Б. Стечкиным и П. Л. Ульяновым в 1962 г.
Обратная связь: