О скорости убывания на бесконечности решений уравнения Шредингера в полуцилиндре (по совместной работе с С.Крымским)

Рассмотрим уравнение
$$ -\Delta u + V u = 0 $$
в полуцилиндре $[0, \infty) \times (0,2\pi)^d$ с периодическими краевыми условиями на боковой поверхности. Предполагаем, что потенциал $V$ ограничен. Нас интересует возможная скорость убывания на бесконечности нетривиального решения $u$. Ясно, что решение может убывать экспоненциально. При $d=1$ и $d=2$ решение не может убывать быстрее, то есть если
$$ u (x,y) = O \left(e^{-Nx}\right) \qquad \forall \ N, $$
где $x$ — продольная переменная, то $u \equiv 0$. При $d \ge 3$ мы построим пример нетривиального решения, убывающего как $e^{-c x^{4/3}}$, и покажем, что более быстрое убывание невозможно,
$$ u (x,y) = O \left(e^{-Nx^{4/3}}\right) \quad \forall \ N \qquad \Longrightarrow \qquad u \equiv 0. $$