Геометрия расстояния Громова-Хаусдорфа

Расстояние Громова-Хаусдорфа измеряет насколько различны два данных метрических пространства: расстояние между изометричными пространствами равно нулю. Впрочем, даже в случае, когда пространства не изометричны, это расстояние может зануляться, например, расстояние между отрезком [0,1] и интервалом (0,1). Также это расстояние может равняться бесконечности, например, между ограниченным и неограниченным метрическими пространствами. Тем не менее, это расстояние симметрично и удовлетворяет неравенству треугольника. Если ограничиться классами изометрии компактных метрических пространств, то расстояние Громова-Хаусдорфа превратится в конечную метрику. А что можно сказать про семейство всех метрических пространств (рассматриваемых с точностью до изометрии)? В докладе будет рассказано, как можно изучать этого "монстра", который, в теории фон Неймана-Бернайса-Гёделя называется собственным классом. Мы покажем, как определить "топологию" на этом классе, что позволит говорить о непрерывных кривых и их длинах. Мы докажем, что расстояние Громова-Хаусдорфа является внутренним, т.е. может быть вычислено как точная нижняя грань длин непрерывных кривых, соединяющих два данных метрических пространства, находящихся на конечном расстоянии друг от друга. Мы поговорим про геометрию метрических сегментов, их продолжимость за концы. Также мы расскажем о том, как расстояния Громова-Хаусдорфа до простейших метрических пространств с одним ненулевым расстоянием могут быть использованы для изучения на первый взгляд никак не связанных с этими расстояниями задач. К таким задачам, например, относятся вычисление длин ребер минимальных остовных деревьев, проблема Борсука о разбиении метрического пространства на наименьшее число частей меньшего диаметра, вычисление хроматического числа и числа кликового покрытия произвольного простого графа.
Заседание семинара состоится в Zoom. За ссылкой можно обратиться к В.Ю.Протасову: v-protassov@yandex.ru