Естественные дифференциальные операции на многообразиях: теоретико-инвариантный подход (по совместной работе с П. И. Кацыло)

Естественные дифференциальные операции (е.д.о.) на многообразиях — это операции на тензорных полях и других геометрических величинах, задаваемые дифференциальными операторами, имеющими один и тот же вид в любой системе координат. Они играют важную роль в дифференциальной геометрии и ее приложениях, так как, будучи инвариантными относительно замен координат, несут внутренний геометрический смысл. Примерами е.д.о. служат внешний дифференциал и кривизна римановой метрики.
В докладе будет рассмотрен алгебраический подход к изучению е.д.о., основанный на рассмотрении действия алгебраической группы струй диффеоморфизмов на пространствах струй тензорных полей. Естественные дифференциальные операции задаются отображениями пространств струй в пространства тензоров, которые эквивариантны относительно подгруппы Леви $\mathrm{GL}(n)$ в группе струй диффеоморфизмов (линейные преобразования координат) и инвариантны относительно унипотентного радикала группы струй. Изучение таких отображений — задача теории инвариантов, поэтому мы называем этот подход теоретико-инвариантной редукцией (сокращенно, IT-редукцией).
Идея IT-редукции не нова, однако систематическое использование методов теории представлений и теории инвариантов позволяет получать простые и концептуальные доказательства ряда известных результатов о е.д.о., а также новые результаты. Среди первых — теорема Схоутена о классификации линейных е.д.о. (единственная нетривиальная операция — внешний дифференциал) и ее обобщение Рудаковым на симплектические многообразия, теорема Гилки о дифференциальных характеристических классах римановых метрик и др. Среди вторых — общая теорема конечности для е.д.о. ограниченного порядка и степени по производным, отсутствие канонического деформационного квантования пуассоновых многообразий.