Модулярные представления алгебр Ли и гипотеза Хамфриса

Пусть $G$ — стандартная связная редуктивная группа над алгебраически замкнутым полем характеристики $p>0$. Это означает, что производная подгруппа $\mathcal DG$ односвязна, $p$ –— хорошее простое число для $G$ и алгебра Ли $\mathfrak g = \mathrm{Lie}(G)$ имеет невырожденную $\mathrm{Ad}(G)$-инвариантную симметрическую билинейную форму. Пусть $U_\chi(\mathfrak g)$ — приведённая обёртывающая алгебра, ассоциированная с линейной функцией $\chi\in\mathfrak g^*$. Согласно уже доказанной гипотезе Вейсфейлера–Каца, любой неприводимый $U_\chi(\mathfrak g)$-модуль имеет размерность, деляющуюся на $p^{d(\chi)}$, где $2d(\chi)$ –— размерность коприсоединённой орбиты функции $\chi$.
В докладе пойдёт речь о совместной работе с Льюисом Топли, в которой доказана гипотеза Хамфриса, согласно которой любая алгебра $U_\chi(\mathfrak g)$ имеет хотя бы один модуль размерности $p^{d(\chi)}$. В доказательстве используются свойства форм конечных $W$-алгебр над кольцами, в частности наличие в них идеалов аугментации.