Симметрические многочлены и массивы

Многочлены Шура — замечательный базис в пространстве симметрических многочленов. Они встречаются повсеместно: в комбинаторике — в связи с таблицами Юнга, в теории представлений — как характеры представлений GL(n), в геометрии — как классы когомологий многообразий Шуберта в грассманианах. Правда, перемножать многочлены Шура не очень просто; для этого служит правило Литтлвуда-Ричардсона, довольно сложный комбинаторный алгоритм.
В 2005 году В.И.Данилов и Г.А.Кошевой придумали массивы: комбинаторные объекты, с помощью которых доказательства разных утверждений про многочлены Шура становятся проще. Массив — это прямоугольная доска, в клетках которой лежат шарики, которые можно перекладывать по определенным правилам.
У многочленов Шура есть различные обобщения. Одно из них — двойственные стабильные многочлены Гротендика — получается, если заменить в комбинаторном определении полустандартные таблицы Юнга на “обратные плоские разбиения” — таблицы, числа в которых нестрого возрастают по столбцам и строчкам. Они возникли в работе Т.Лама и П.Пилявского, потом изучались П.Галашиным и многими другими. (А еще они связаны с К-теорией грассманианов, но об этом я говорить почти не буду). Я расскажу об аналоге массивов, который мы определили для этих многочленов — правда, там в клетках доски надо раскладывать не только одиночные шарики, но еще и гирлянды шаров, нанизанных на нитку.
Доклад основан на совместной работе с Анастасией Сукачёвой.