Асимптотика собственных значений симметрических теплицевых матриц

В докладе будет рассказано об асимптотических формулах (допускающих равномерную оценку остаточного члена) для собственных значений теплицевых матриц, когда размер этих матриц неограниченно возрастает. Основной результат, который представляет собой явный вид такого рода формул, определяет структуру собственных значений в терминах функции (называемой символом, которая порождает данные теплицевы матрицы) с точностью до остаточного члена. Отметим, что мы рассматриваем случай, когда порождающая функция является полиномом Лорана, удовлетворяющего определенным ограничениям, то есть случай ленточных теплицевых матриц, а также случай, когда символ является гладкой функцией, удовлетворяющей определенным условиям. Подобного рода формулы являются уточнением результатов, описывающих предельный спектр и полученных в свое время Ф. Спитцером и П. Шмидтом для ленточных теплицевых матриц и Х. Уидомом для теплицевых матриц с гладким символом. Будут представлены недавние результаты для специальных классов символов, как ленточных теплицевых матриц, так и для несамосопряженных теплицевых матриц с гладким символом, удовлетворяющих определенным ограничениям. Мы ограничимся, в основном, случаем симметрических матриц, не обязательно самосопряженных. В первой вводной части будет рассказано об общем методе нахождения такого рода формул, а во второй части будет рассмотрен пример получения асимптотической формулы в случая символа, являющегося полиномом Лорана, у которого ограничения, налагаемые методом, существенно ослаблены или отброшены.