Несколько результатов к программе Бялыницкого–Бирули (совместная работа с Ю. Хаусеном)

Пусть $G$ — связная редуктивная группа, и $X$ — неприводимое нормальное $G$-многообразие. Одной из основных задач геометрической теории инвариантов является задача описания всех открытых инвариантных подмножеств $U$ в $X$, допускающих хороший фактор. Назовем такие подмножества $G$-подмножествами. Естественно описывать только $G$-подмножества, максимальные относительно насыщенных включений.
Основываясь на известном критерии Гильберта–Мамфорда, А. Бялыницкий-Бируля предложил решать указанную задачу в несколько этапов. На первом этапе надо найти комбинаторное описание максимальных $G$-подмножеств в случае, когда группа $G$ является тором. На втором этапе для произвольной $G$ максимальные $G$-подмножества предлагается получать как максимальные открытые инвариантные подмножества в максимальных $T$-подмножествах, где $T$ — максимальный тор в $G$. Наконец, хорошо бы связать геометричекие свойства $T$- и $G$-факторов.
В докладе планируется дать обзор известных, а также обсудить несколько новых результатов в этом направлении.