Меры на сепарабельном гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов и ортогональных преобразований

Согласно теореме А. Вейля на бесконечномерном топологическом векторном пространстве не существует меры Лебега. Поэтому актуален вопрос об изучении инвариантных относительно движений мер на гильбертовом пространстве, не обладающих некоторыми свойствами меры Лебега. Будет рассмотрена конструкция таких конечно-аддитивных мер, заданных на кольце подмножеств, порожденном измеримыми брусами – бесконечномерными параллелепипедами, произведения длин ребер которых сходятся безусловно. Важную роль в решении задачи об инвариантной мере играет анализ свойств пересечения бруса со своим образом при сдвиге или повороте. Исследуются также пространства функций, квадратично интегрируемых по инвариантной мере, и свойства операторов сдвига и поворота аргумента таких функций.