Пространства Соболева и пространства гладких функций на гильбертовом пространстве, снабженном трансляционно инвариантной мерой

Для изучения случайных блужданий в гильбертовом пространстве последнее снабжается мерой, инвариантной относительно сдвигов. Вводится пространство функций, квадратично интегрируемых по трансляционно инвариантной мере, и изучаются свойства операторов сдвига аргумента в пространстве таких функций. Показано, что результатом усреднения операторов сдвига на случайный вектор с гауссовскими распределениями является полугруппа самосопряженных сжатий, разрешающая бесконечномерное уравнение диффузии. Установлен критерий сильной непрерывности полученной при усреднении полугруппы. С помощью введенной усредненной полугруппы определяются пространства Соболева и пространства гладких функций на гильбертовом пространстве. Получены условия вложения и условия плотного вложения пространства гладких функций в пространства Соболева, приведены примеры нарушения вложения. Для нарушения плотности вложения, которое называется эффектом М.А. Лаврентьева и играет важную роль в вариационном исчислении, также построены примеры.