Аннотация:$M_3$-инвариант - это комбинаторный инвариант для $3$-компонентных ориентированных зацеплений $L\subset \mathbb R^3$, который не выражается через попарные коэффициенты зацепления компонент и удовлетворяет асимптотическому уравнению:
$$ M_3(\lambda L) = \lambda^{12} M_3(L),$$
где $\lambda L$ определено как $\lambda$-кратная обмотка зацепления $L$, $\lambda \in \mathbb Z$.
Известна гипотетическая формула, выражающая $M_3$-инвариант через многочлен Конвея зацепления $L$. План доказательства этой формулы состоит в том, что мы заменяем комбинаторный инвариант $M_3$ его аналитическим выражением, которое называется $M_3$-интеграл. Этот интеграл можно рассматривать, более или менее, как обобщение
интеграла Гаусса для коэффициентов $(i,j)$ зацепления компонент.
Выпишем формулу $M_3$-интеграла. Доказательство корректности $M_3$ происходит по той же схеме, что и проверка корректности интеграла Гаусса при изотопии зацепления. Обобщим $M_3$-интеграл и определим $M_5$-интеграл. $M_5$-интеграл определен для $5$-компонентного ориентированного зацепления с предписанным циклическим порядком компонент. Дополнительно предполагается, что десять попарных коэффициентов зацепления компонент $(i,j)$ удовлетворяют соотношениям:
$(i,i+1)=p$, $(i,i+2)=q$. Получится комбинаторный инвариант, явное выражение которого автору не известно.
Интеграл $M_5$ направлен на вычисления для прикладной задачи из классической электродинамики [A]. Вычисления целесообразно проводить для инвариантов $M_3$ и $M_5$ параллельно.
Обратная связь: