Вырождение орисфер в сферических однородных пространствах

Пусть $X$ — квазиаффинное однородное пространство полупростой алгебраической группы $G$. В теории представлений и эквивариантной симплектической геометрии оказывается полезным рассматривать многообразие $\mathrm{Hor}X$ орисфер пространства $X$. Действие $G\colon\mathrm{Hor}X$ является стягиванием действия $G:X$, подкрученного на инволюцию Вейля группы $G$. Будучи более простым, оно, тем не менее, сохраняет некоторые свойства исходного действия. Вообще говоря, оно не транзитивно, но оно является транзитивным, если $X$ — симметрическое или, более общо, сферическое однородное пространство.
Точками многообразия $\mathrm{Hor}X$ служат орисферы пространства $X$, которые определяются как орбиты «общего положения» максимальных унипотентных подгрупп группы $G$. Если $U$ — какая-то максимальная унипотентная подгруппа, то можно рассмотреть категорный фактор
$$ D\colon X\to X/U. $$
Его слои общего положения являются орбитами группы $U$ (составляющими семейство концентрических орисфер). Прочие $U$-орбиты, вообще говоря, имеют меньшую размерность, а прочие слои морфизма $D$ — бо́льшую. В докладе будет доказано, что для определенного класса «превосходных» сферических однородных пространств, включающего все симметрические пространства, морфизм $D$ сюръективен и равноразмерен.
Предыдущий результат остается верным, если заменить подгруппу $U$ на любую сферическую подгруппу $F$, для которой однородное пространство $G/F$ превосходно. На этом пути получается следующий результат: если $G/H$ — превосходное сферическое однородное пространство, то алгебра $C[G/U]$ является свободным модулем над подалгеброй $H$-инвариантов. В случае, когда подгруппа $H$ редуктивна, это дает некоторую информацию о спектрах представлений группы $G$, индуцированных представлениями подгруппы $H$.