Проблемы единственности для уравнений Фоккера – Планка – Колмогорова

В докладе будет рассказано о нескольких элементарно формулируемых проблемах единственности, связанных со стационарным уравнением Колмогорова и задачей Коши для эволюционного уравнения Фоккера – Планка – Колмогорова. Некоторые из этих проблем, поставленных самим Колмогоровым еще в 1930-х годах или естественно связанных с вопросами Колмогорова, относительно недавно были решены, а другие остаются открытыми. Речь пойдет в основном о случае единичного коэффициента диффузии и гладкого сноса b, когда стационарное уравнение относительно меры µ имеет вид ∆µ − div(bµ) = 0 или такой же вид для плотности решения, а параболическое уравнение для плотности p(x,t) записывается в виде ∂_t p = ∆p − div(bp). Такие уравнения можно рассматривать как в классе вероятностных мер, так и в классе ограниченных (возможно знакопеременных) мер, что приводит к различным интересным задачам. Обсуждаемые проблемы единственности имеют отношение также к стационарным мерам диффузий, уравнениям Чэпмена – Колмогорова и полугруппам, порождаемым эллиптическими операторами второго порядка. Для понимания существа наших основных задач достаточно сведений из курса анализа первых двух семестров.