Аннотация:
Пусть Ω – липшицева область, и пусть
Aε=−divA(x,x/ε)∇ – сильно
эллиптический оператор в Ω при довольно общих граничных условиях,
включающих, в частности, как условия Дирихле и Неймана, так и смешанные
краевые условия.
Мы предполагаем, что параметр ε мал, а функция A в операторе
липшицева по первому аргументу и периодична - по второму, так что его
коэффициенты оказываются локально периодическими и быстро осциллирующими.
Из классических результатов теории усреднения известно, что резольвента (Aε−μ)−1 сходится (в определенном смысле), когда
ε стремится к 0.
Мы приведем приближения для операторов (Aε−μ)−1 и
∇(Aε−μ)−1 по операторной норме на пространстве Lp с подходящим p.
Порядок погрешностей зависит от регулярности эффективного оператора A0.
Мы покажем, что если резольвента (Aε−μ)−1 отображает
непрерывно Lp в пространство Бесова B1+sp,∞ с 0<s⩽1, то
погрешности будут иметь порядок εs и εs/p соответственно.