Об усреднении эллиптических локально периодических краевых задач в области

Пусть $\Omega$ – липшицева область, и пусть $\mathcal A^\varepsilon=-\operatorname{div}A(x,x/\varepsilon)\nabla$ – сильно эллиптический оператор в $\Omega$ при довольно общих граничных условиях, включающих, в частности, как условия Дирихле и Неймана, так и смешанные краевые условия. Мы предполагаем, что параметр $\varepsilon$ мал, а функция $A$ в операторе липшицева по первому аргументу и периодична - по второму, так что его коэффициенты оказываются локально периодическими и быстро осциллирующими. Из классических результатов теории усреднения известно, что резольвента $(\mathcal A^\varepsilon-\mu)^{-1}$ сходится (в определенном смысле), когда $\varepsilon$ стремится к $0$. Мы приведем приближения для операторов $(\mathcal A^\varepsilon-\mu)^{-1}$ и $\nabla(\mathcal A^\varepsilon-\mu)^{-1}$ по операторной норме на пространстве $L_p$ с подходящим $p$. Порядок погрешностей зависит от регулярности эффективного оператора $\mathcal A^0$. Мы покажем, что если резольвента $(\mathcal A^\varepsilon-\mu)^{-1}$ отображает непрерывно $L_p$ в пространство Бесова $B_{p,\infty}^{1+s}$ с $0<s\le1$, то погрешности будут иметь порядок $\varepsilon^s$ и $\varepsilon^{s/p}$ соответственно.