О замечательных свойствах частично-упорядоченных множеств, связанных с системами корней

Пусть $g$ — полупростая комплексная алгебра Ли и $m$ — натуральное число. Согласно одному неопубликованному результату Серра, замечательное доказательство которого будет рассказано в докладе, среди всех внутренних автоморфизмов порядка $m$ алгебры $g$ наименьшую размерность подалгебры неподвижных точек имеет автоморфизм, определяемый элементом главной $3$-мерной подгруппы группы $\mathrm{Int}(g)$. Обозначим эту размерность через $d(m)$.
С другой стороны, определим число Кокстера $h(e)$ нильпотентного элемента $e$ алгебры $g$ как число Кокстера минимальной содержащей его подалгебры Леви. (Числом Кокстера редуктивной алгебры Ли называется максимум чисел Кокстера ее простых идеалов; числом Кокстера простой алгебры Ли называется высота старшего корня плюс $1$.) Согласно результату А. Г. Элашвили и докладчика, из неравенства $h(e)\le m$ следует, что размерность централизатора элемента $e$ не меньше, чем $d(m)$; в случае равенства пара $(m,e)$ называется исключительной.
Исключительные пары возникли в работе В. Каца и М. Вакимото в связи с конструкцией одного класса $W$-алгебр. Ими были описаны все исключительные пары в простых алгебрах Ли типа A. Докладчику и Элашвили удалось получить классификацию исключительных пар во всех полупростых алгебрах Ли.