Аннотация:
Зафиксируем поле коэффициентов $F$ и рассмотрим множество всех
прямоугольных $n\times m$ матриц над $F$. На этом множестве действует
умножениями слева (соотв. справа) группа строговерхнетреугольных (т.е.
с единицами на диагонали) матриц размера $n\times n$ (соотв. $m\times m$).
Двусторонний фактор по этому двойному действию отождествляется с
матрицами, у которых в каждом столбце и каждой строке есть максимум
один ненулевой элемент. Это вариант классического разложения Брюа для
$GL$, который мы называем обогащённым.
Мы применяем это линейно-алгебраическое утверждение в контексте
строгих (т.е. не имеющих совпадающих критических значений) функций
Морса. А именно, предъявляются инварианты таких функций и основным
примером служит обогащённое разложение Баранникова. (Классическое
разложение Баранникова часто ещё называется персистентными гомологиями
и является популярным инструментом в симплектической геометрии, о которой,
однако, речь не пойдёт.)
Обогащение же заключается в наличии, после выбора должных ориентаций,
канонически определённых чисел (элементов поля), написанных на каждой
паре Баранникова (a.k.a. полоске в баркоде). Эти инварианты, сами по
себе являющиеся естественными, применяются далее для получения
некоторых сведений о пространстве всех функций Морса на данном
многообразии.
Никаких пререквизитов не требуется, все определения будут даны. По
совместной работе с Петей Пушкарём.
Обратная связь: