Аннотация:
Теорема Котельникова восстанавливает по значениям в точках бесконечной арифметической прогрессии интегрируемую в квадрате
функцию, чьё преобразование Фурье имеет компактный носитель — иными словами, функцию класса Пэли–Винера. Главный результат доклада утверждает, что функция класса Пэли–Винера однозначно восстанавливается также по значениям реализации синус-процесса с одной удалённой частицей. Если частиц вовсе не удалять, то теорема о возможности такого восстановления принадлежит, для синус-процесса, Гошу, для общих детерминантных процессов, Цью, Шамову и докладчику. Если же из реализации синус-процесса удалить две частицы, то существует ненулевая функция класса Пэли–Винера, обращающаяся в нуль во всех этих точках.
Реализация синус-процесса — счетное подмножество прямой без точек накопления. Расстояние между соседними точками не отделено от нуля, однако вероятность накопления большого числа точек в маленьком интервале убывает быстрее, чем гауссова функция ошибок. Количество частиц в растущем интервале удовлетворяет центральной предельной теореме, причем дисперсия — логарифм длины интервала.
Сопоставим реализации синус-процесса целую функцию, обращающуюся в нуль во всех её частицах — произведение Вейерштрасса — аналог характеристического полинома случайной матрицы. Следующий шаг — скейлинговый предел формулы Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса,
представляющей собой вторую теорему Сеге с явной оценкой ошибки. Переходя к скейлингововму пределу, получаем точное выражение для мультипликативных функционалов синус-процесса, можно установить "иерархическую независимость" значений нашего произведения в далёких точках в духе Кистлера, которому, при изучении характеристического полинома случайной унитарной матрицы, следовали Аргэн, Белиус и Бургад.
С технической точки зрения, главный шаг — оценка высоких частот произведения Вейерштрасса с помощью замены переменной типа Йоханссона, опирающаяся на квази-инвариантность синус-процесса под действием достаточно большой группы диффеоморфизмов. Квази-инвариантность, в свою очередь, опирается на оценки моментов мультипликативных функционалов по парам частиц.
Обратная связь: