Изопериметрические неравенства для собственных значений оператора Лапласа

Собственные значения оператора Лапласа описывают многие физические явления, среди которых теплопроводность и распространение звука. По этой причине, уже в XIX веке физики активно интересовались оценками на эти собственные значения. В книге "Теория звука" Лорд Рэлей поставил следующую задачу: найти плоскую область фиксированной площади с минимальным первым собственным значением Дирихле. Эта задача является первым примером изопериметрического неравенства для собственных значений. В данном докладе мы обсудим более общую изопериметрическую задачу, в которой собственные значения рассматриваются как функционалы на пространстве метрик на фиксированной поверхности. Такая формулировка оказывается особенно интересной в связи со следующим наблюдением Н.Надирашвили: экстремальные метрики таких функционалов тесно связаны с фундаментальным геометрическим объектом — минимальными поверхностями. В докладе будет рассказано о недавних результатах в этой области, в том числе об оптимальных изопериметрических неравенствах для всех собственных значений на сфере и проективной плоскости.