Ортогональные подмножества систем корней и метод орбит

Пусть $U$ — максимальная унипотентная подгруппа в группе Шевалле с системой корней $\Phi$ над конечным полем, $u$ — её алгебра Ли, $u^*$ — сопряжённое пространство. Основным инструментом в изучении представлений группы $U$ является метод орбит А. А. Кириллова: неприводимые комплексные представления находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами коприсоединённого действия группы $U$ в пространстве $u^*$.
Произвольному множеству $D$, состоящему из попарно ортогональных положительных корней, можно поставить в соответствие орбиту $\Omega_D$ линейной формы $f$ на $t$, значения которой отличны от нуля лишь на корневых векторах, соответствующих корням из $D$. Мы говорим, что орбита $\Omega_D$ ассоциирована с множеством $D$. Почти все орбиты, сколько-нибудь полно изученные к настоящему времени (орбиты максимальной и предмаксимальной размерностей, элементарные орбиты и т.д.) относятся к таким орбитам.
Мы показываем, что размерность орбиты $\Omega_D$ на зависит от того, какие именно ненулевые значения форма $f$ принимает на корневых векторах. Далее мы находим оценку сверху на эту размерность в терминах группы Вейля системы корней $\Phi$, а для классических систем корней получаем точные формулы. Как следствие, мы описываем все возможные размерности неприводимых комплексных представлений группы $U$ в случае классической системы корней.