Кристаллы Кашивары и кактусная группа

Кристаллы Кашивары являются комбинаторной моделью конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. Более точно, кристаллом конечномерного представления данной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ является множество, индексирующее некоторый специальный базис соответствующего представления квантовой группы $U_q(\mathfrak{g})$, на котором образующие Шевалле $e_i$ задают структуру ориентированного графа, ребра которого размечены простыми корнями алгебры Ли. Кристаллы являются очень интересным и важным комбинаторным объектом, естественным образом содержащим в себе, в частности, такие нетривиальные комбинаторные конструкции, как соответствие RSK и инволюции Шютценберже.
Кристаллы, связанные с данной алгеброй Ли, образуют моноидальную категорию, т.е. на них определена операция тензорного произведения. Тензорное произведение кристаллов несимметрично – однако тензорные произведения двух кристаллов в разных порядках изоморфны при помощи некоторого функториального изоморфизма, называемого коммутором. Эта структура похожа на braiding в категории представлений квантовой группы (и фактически происходит из нее), однако соотношению группы кос коммуторы не удовлетворяют. В частности, на тензорной степени данного кристалла всевозможные коммуторы порождают не действие группы кос $B_n$, а действие другой группы $J_n$, называемой кактусной группой, – фундаментальной группы компактификации Делиня-Мамфорда пространства модулей вещественных стабильных рациональных кривых с отмеченными точками.
Я приведу конструкцию кристаллов Кашивары, их тензорного произведения и коммуторов и проиллюстрирую на простых примерах, как это работает. Я также расскажу, как задать образующими и соотношениями кактусную группу, и объясню ее связь с группой кос. Если останется время, я расскажу о (нашем с Джоэлем Камницером, Ивой Халачевой и Алексом Виксом) новом подходе к категории кристаллов, проясняющем появление пространства Делиня-Мамфорда в этой науке, а также о том, как кристаллы Кашивары возникают из квантовых интегрируемых систем.