О некоторых свободных алгебрах автоморфных форм на симметрических областях типа IV

Теория автоморфных форм есть теория инвариантов дискретных групп голоморфных преобразований и в этом смысле может называться трансцендентной теорией инвариантов. Благодаря тому, что многообразия модулей некоторых классов алгебраических многообразий естественным образом аналитически изоморфны факторпространствам эрмитовых симметрических пространств некомпактного типа («симметрических областей» Картана) по арифметическим дискретным группам их голоморфных преобразований, трансцендентная теория инвариантов оказывается связанной с алгебраической теорией инвариантов. Классический пример: многообразие модулей плоских кубических кривых изоморфно факторпространству верхней полуплоскости по модулярной группе Клейна. Это находит свое выражение в том, что алгебра модулярных форм Клейна изоморфна алгебре инвариантов кубической формы от трех переменных (относительно унимодулярной группы), которая, как известно, свободно порождается однородными многочленами степеней $4$ и $6$. Многообразие модулей кубических кривых есть (проколотый) проективный спектр этой алгебры.
В этом и всех подобных примерах изоморфизм осуществляется с помощью отображения периодов – интегрирования голоморфных внешних дифференциальных форм старшей степени по циклам половинной размерности. Утверждение о том, что отображение периодов является изоморфизмом аналитических пространств, называется теоремой Торелли для данного класса алгебраических многообразий.
Пользуясь интерпретацией многообразия модулей алгебраических кривых рода $2$ как факторпространства «верхней полуплоскости Зигеля» $S(2)=Sp(4,R)/U(2)$ (3-мерной симметрической области типа III) по группе $Sp(4,Z)$, Игуза в 1962 г. доказал, что алгебра автоморфных форм на $S(2)$ относительно $Sp(4,Z)$ свободно порождается формами степеней $4$, $6$, $10$, $12$. До настоящего времени это был по существу единственный пример в размерностях $>2$, когда структура алгебры автоморфных форм была полностью описана.
Наибольший интерес с точки зрения связи между алгебраической теорией инвариантов и теорией автоморфных форм представляют алгебраичеcкие поверхности типа K3, типичными представителями которых являются гладкие квартики в $3$-мерном проективном пространстве. Теорема Торелли для поверхностей типа K3 была доказана в работах И. И. Пятецкого-Шапиро и И. Р. Шафаревича (1971) и Вик. С. Куликова (1977). Многообразия модулей поверхностей типа K3 интерпретируются как арифметические факторпространства симметрических областей типа IV — симметрических пространств вида
$$ D(n)=O(2,n)/(O(2)\times O(n)). $$
Заметим, что верхняя полуплоскость Зигеля $S(2)$ может также рассматриваться как симметрическая область $D(3)$ типа IV.
В докладе будет рассказано о конкретных новых результатах, полученных с помощью этой идеологии. А именно, используя интерпретацию многообразий модулей некоторых специальных классов квартик в $3$-мерном проективном пространстве как факторпространств симметрических областей $D(n)$, $n=3$, $4$, $5$, $6$, $7$, по группам целочисленных матриц в $O(2,n)$, докладчику удалось доказать, что соответствующие алгебры автоморфных форм свободны, и найти степени их образующих. Например, при $n=7$ эти степени равны $4$, $6$, $8$, $10$, $12$, $14$, $16$, $18$. Из свободности алгебры автоморфных форм следует, что соответствующая дискретная группа порождается комплексными отражениями. (Заметим, что из всех симметрических областей только комплексные шары (относящиеся к типу I) и области типа IV обладают комплексными отражениями.)