Ветвление для симплектических групп (по работе N. Wallach и O. Yacobi)

Классические связные комплексные группы Ли распадаются на 4 серии
$$ G_n=GL_n, \quad SL_n, \quad SO_n, \quad Sp_{2n}. $$
(С точки зрения теории полупростых групп Ли серию $SO$ естественно рассматривать как объединение двух серий $B$ и $D$, отвечающих нечетным и четным $n$.) Группы одной серии вложены друг в друга:
$$ G_n>G_{n-1}. $$
В теории представлений классических групп важную роль играет проблема ветвления — описание ограничения неприводимого представления группы $G_n$ на $G_{n-1}$, т.е. его разложения на неприводимые представления $G_{n-1}$. Если ограничение любого неприводимого представления $G_n$ на $G_{n-1}$ имеет простой спектр (это так для серий $GL$ и $SO$), то имеется каноническое разложение любого простого $G_n$-модуля $V$ на простые $G_{n-1}$-подмодули. Продолжая процедуру ветвления с $G_{n-1}$ на $G_{n-2}$, в итоге получаем каноническое разложение $V$ в прямую сумму одномерных подпространств, т.е. (с точностью до пропорциональности) канонический базис $V$ (для серии $GL$ это базис Гельфанда–Цетлина). Если спектр ограничения не прост, возникают пространства кратностей
$$ M=\mathrm{Hom}^{G_{n-1}}(W,V), $$
где $W$ — простой $G_{n-1}$-модуль. На пространстве $M$ естественно действует связный централизатор $С_n$ подгруппы $G_{n-1}$ в $G_n$. Если веса на $M$ максимального тора в $C_n$ однократны, то снова получаем каноническое разложение $V$ на простые $G_{n-1}$-подмодули и аналог базиса Гельфанда-Цетлина. Так обстоит дело для серии $SL$ (здесь $C_n$ — одномерный тор).
Для серии $Sp$ картина сложнее: спектр ограничения не прост и веса на $M$ неоднократны. Ветвление для симплектических групп изучалось разными авторами. В. В. Штепин предложил вставить между $Sp_{2n}$ и $Sp_{2n-2}$ промежуточную подгруппу «$Sp_{2n-1}$» и рассматривать ветвление в два шага, сперва ограничивая представление на эту подгруппу. А. И. Молев показал, что на пространствах кратностей неприводимым образом действует некая квантовая группа (скрученный янгиан) и для этого действия имеется канонический базис.
В докладе будет рассказано об элементарном подходе к проблеме ветвления, основанном на действии $C_n=SL_2$. Будет показано, что каждое пространство кратностей $M$ является тензорным произведением $n$ вполне определенных простых $SL_2$-модулей. Более того, можно построить естественное неприводимое представление группы
$$ S=(SL_2)^n \quad\text{в}\quad M, $$
так что действие $C_n$ является ограничением на диагональ. $S$-модуль $M$ уже имеет однократные веса относительно максимального тора в $S$, что дает каноническое разложение $V$ на простые $G_{n-1}$-подмодули и канонический базис $V$.