Кольца Кокса алебраических многообразий с действием тора сложности один (по работе J. Hausen and H. Suss)

Пусть $X$ — нормальное полное алгебраическое многообразие с конечно порождённой группой классов дивизоров $\mathrm{Cl}(X)$. Такому многообразию соответствует $\mathrm{Cl}(X)$-градуированная алгебра $R(X)$, называемая кольцом Кокса многообразия $X$.
В работе изучаются кольца Кокса многообразий $X$ с заданным действием алгебраического тора $T$. Известно, что для открытого подмножества $U$ в $X$, состоящего из $T$-орбит максимальной размерности, существует геометрический фактор. Пространство орбит $U/T$ является, вообще говоря, предмногообразием, но для него кольцо Кокса определяется также как и для многообразий. Вычисление кольца $R(X)$ может быть сведено к вычислению $R(U/T)$. А именно, $R(X)$ изоморфно кольцу многочленов над $R(U/T)$ с явно заданными образующими. Далее существует канонически заданное отображение $U/T$ в некоторое многообразие $Y$, являющееся локальным изоморфизмом. $R(U/T)$ является фактором кольца многочленов над $R(Y)$ по явно заданным соотношениям.
В частности, если $T$-действие на $X$ имеет сложность один и $X$ рационально, то $U/T$ — это проективная прямая с несколькими «расклеенными» точками, а $Y$ — проективная прямая. В этой ситуации кольцо Кокса многообразия $X$ оказывается изоморфно фактору кольца многочленов от нескольких переменных по идеалу, порожденному триномами (т.е. суммами трёх мономов).