Аннотация:
Пусть $\Delta(x)$ - остаточный член в проблеме делителей Дирихле, т.е.
$$
\Delta(x)\,=\,\sum\limits_{n\leqslant x}\tau(n)\,-\,x(\log{x}-2\gamma-1).
$$
Имеется гипотеза, согласно которой
$$
\Delta(x+U)-\Delta(x)\,\ll\,x^{\varepsilon}\sqrt{U}\quad\text{при}\quad 1\leqslant U\ll \sqrt{x},\quad x\to +\infty.
$$
Известно, что из нее следует решение проблемы делителей, т.е. оценка $\Delta(x) = x^{1/4+\varepsilon}$. Для изучения разности $\Delta(x+U)-\Delta(x)$
М. Ютила ввел в 1984 г. в рассмотрение интеграл
$$
\mathcal{Q}_{\Delta}(X,H;U)\,=\,\int_{X}^{X+H}\bigl(\Delta(x+U)-\Delta(x)\bigr)^{2}dx
$$
и получил для него при $1\leqslant U\ll \sqrt{X}$ (и некоторых ограничениях на $H$) правильные по порядку верхнюю и нижнюю оценки. Из них, в свою очередь, следовало, что
«корреляционная функция» величины $\Delta(x)$, т.е.
$$
K_{\Delta}(X,H;U)\,=\,\int_{X}^{X+H}\Delta(x+U)\Delta(x)dx
$$
принимает при указанных $U$ максимально возможное значение. Последнее вполне согласуется с интуитивно ожидаемым наличием сильной «зависимости» между $\Delta(x)$ и $\Delta(x+U)$
при малых $U$. Все сказанное остаётся справедливым (с минимальными изменениями) и для функции $P(t)$ - остаточного члена в проблеме круга, т.е.
$$
P(t)\,=\,\sum\limits_{a^{2}+b^{2}\leqslant t}1\,-\,\pi t.
$$
Задачу изучения «корреляционной функции» $K_{\Delta}(X,H;U)$ (и, таким образом, $K_{P}(X,H;U)$) при $U\gg \sqrt{X}$ Ютила посчитал малоинтересной, поскольку в таком случае
$\Delta(x)$ и $\Delta(x+U)$, равно как $P(t)$ и $P(t+U)$ должны вести себя как независимые случайные величины.
Однако поведение функции
$$
\mathcal{K}_{P}(T,H;U)\,=\,\int_{T}^{T+H}(P(t+U)-P(t))^{2}dt
$$
при $\sqrt{T}\ll U\ll T$ оказывается более сложным, чем можно было бы ожидать. Рассказу о том, что происходит с $\mathcal{K}_{P}(T,H;U)$, и посвящён доклад.
Идентификатор конференции: 942 0186 5629 Код доступа-шестизначное число, первые три цифры которого образуют число p+44, а последние три цифры-число q+63, где p,q-наибольшая пара близнецов, меньших 1000.
Обратная связь: