О разрешимых сферических подгруппах полупростых алгебраических групп

В докладе будет изложена структурная теория связных разрешимых сферических подгрупп в полупростых алгебраических группах. Кроме того, будет показано, как на основе этой структурной теории получается классификация всех с точностью до сопряжённости связных разрешимых сферических подгрупп. Основные этапы развития теории и классификации приведены ниже.
1. Доказывается простой, но удобный критерий сферичности разрешимой подгруппы в терминах её касательной алгебры. Этот критерий лежит в основе всей теории.
2. При помощи критерия из п. 1 доказывается результат, который является первым приближением к классификации.
3. Вводится ключевое понятие теории — понятие меченого корня, и развивается так называемая теория меченых корней. Основными результатами этой теории являются:
(3.1) классификация меченых корней;
(3.2) соответствие, которое каждой связной разрешимой сферической подгруппе (точнее, её классу сопряжённости) сопоставляет (вообще говоря, не единственным образом!) набор комбинаторных данных;
(3.3) определение ряда условий, которым удовлетворяют комбинаторные данные из (3.2);
(3.4) теорема единственности: связная разрешимая сферическая подгруппа однозначно с точностью до сопряжённости определяется (любым) своим набором комбинаторных данных (3.2).
4. Теорема существования: всякому (абстрактному) набору комбинаторных данных (3.2), удовлетворяющему условиям из (3.3), соответствует некоторая связная разрешимая сферическая подгруппа с этим набором комбинаторных данных.
5. Описание всех наборов комбинаторных данных (3.3), которые могут соответствовать заданной связной разрешимой сферической подгруппе. (Это уже даёт классификацию.)
6. Связные разрешимые сферические подгруппы можно задавать наборами комбинаторных данных (3.3) более простого вида.