О гомологиях групп Торелли

Теория групп классов отображений ориентируемых поверхностей тесно связана с геометрией и топологией пространств модулей, топологией трехмерных многообразий, автоморфизмами свободных групп. Важнейшей подгруппой группы классов отображений поверхности рода $g$ является группа Торелли $I_g$, состоящая из всех классов отображений, действующих тривиально на гомологиях поверхности. Интерес к ее изучению вызван, среди прочего, двумя фактами. Во-первых, эта группа является фундаментальной группой пространства Торелли, которое можно интерпретировать как пространство модулей гладких комплексных кривых рода $g$ с фиксированным симплектическим базисом одномерных гомологий. Во-вторых, элементы группы Торелли задают разбиения Хегора трехмерных гомологических сфер. Соответственно при изучении групп Торелли тесно переплетаются теоретико-групповые методы, алгеброгеометрические методы, приходящие из теории пространств модулей, и методы трехмерной топологии. Например, абелизация группы Торелли рода $g$ (вычисленная Д. Джонсоном в 1985 году) состоит из свободной части и 2-кручения, при этом свободная часть имеет простое теоретико-групповое происхождение, а 2-кручение связано с глубоким топологическим результатом — теоремой Рохлина о делимости на 16 сигнатуры спинорного четырехмерного многообразия.
Известно, что пространство Эйленберга–Маклейна $K(I_g,1)$ не гомотопически эквивалентно конечному клеточному комплексу при $g>1$. Одним из наиболее важных вопросов о группах Торелли является вопрос о том, начиная с какой размерности $k$ топология этого пространства становится бесконечной. Другими словами, для какого наибольшего $k$ пространство $K(I_g,1)$ гомотопически эквивалентно клеточному комплексу с конечным $(k-1)$-остовом. Этот вопрос тесно связан с вопросом о том, для какого наименьшего $k$ группа гомологий $H_k(I_g)$ бесконечно порождена. Согласно классическому результату Д. Джонсона 1980 года при $g>2$ группа $I_g$ конечно порождена и, значит, $k>1$ (для обоих вопросов). Наилучшая известная верхняя оценка имеет вид $k\leqslant2g-3$ и принадлежит докладчику.
В докладе будет рассказано об этом круге задач и результатов и применяемых в них методах.