Бесконечная транзитивность для групп автоморфизмов аффинных многообразий (совм. работа с М. Г. Зайденбергом и К. Г. Куюмжиян)

Будем говорить, что действие группы $G$ на множестве $A$ бесконечно транзитивно, если для любого натурального $m$ и любых наборов $(a_1,\dots,a_m)$ и $(b_1,\dots,b_m)$ попарно различных точек множества $A$ найдется такой элемент $g$ группы $G$, что $g(a_i)=b_i$, $i=1,\dots,m$. Нетрудно проверить, что при $n>1$ группы автоморфизмов $\mathrm{Aut}(A^n)$ действует на аффинном пространстве $A^n$ бесконечно транзитивно. Хотелось бы выяснить, для каких аффинных многообразий $X$ группа автоморфизмов $\mathrm{Aut}(X)$ действует на множестве гладких точек $X_{\mathrm{reg}}$ бесконечно транзитивно. Мы доказываем это свойство для нормальных конусов над многообразиями флагов и для невырожденных аффинных торических многообразий размерности $>1$.
Пусть $X$ — неприводимое аффинное многообразие и $f$ — непостоянная регулярная функция на $X$. Определим надстройку над многообразием $X$ как гиперповерхность в $A^2\times X$, заданную уравнением $uv=f(x)$. Мы показываем, что надстройка сохраняет свойство бесконечной транзитивности для действия группы автоморфизмов.