Каноническая геометризация трёхмерных многообразий, реализуемых малыми накрытиями

Торическая топология позволяет строить явные примеры для глубоких математических результатов. В докладе будет рассмотрена геометризация Тёрстона трёхмерных многообразий. Грубо говоря, каждое замкнутое ориентируемое трёхмерное многообразие можно канонически разрезать на части так, что каждая часть будет иметь геометрическую структуру одного из 8 типов.
В статье Дэвиса-Янушкевича 1991 года было введено понятие малого накрытия над простым многогранником. В случае трёхмерных компактных гиперболических прямоугольных многогранников эта конструкция возникла ещё раньше в 1987 году в работе А.Ю.Веснина.
Дэвис и Янушкевич дали набросок доказательства, как малое накрытие можно разбить на геометрические части.
В докладе мы построим каноническое минимальное разбиение трёхмерного малого накрытия над простым многогранником на геометрические части.
Для решения этой задачи потребовалось дополнительно использовать понятие k-пояса, гиперболического прямоугольного многогранника конечного объёма, ретракции вещественного момент-угол многообразия на часть, отвечающую k-поясу, обобщение конструкции А.Ю.Веснина для более широкого класса многогранников. Можно показать, что простой трёхмерный многогранник разрезается вдоль 4-поясов, вообще говоря, многими способами. Мы находим каноническое разложение. Куски являются почти Погореловскими многогранниками и призмами, причём соседние призмы должны быть перекручены.
Доклад основан на совместных работах с В.М.Бухштабером и Т.Е.Пановым.