Об одном обобщении теоремы Шевалле

Пусть $G$ — связная полупростая комплексная группа Ли, $g$ — ее касательная алгебра Ли, $h<g$ — картановская подалгебра и $W<GL(h)$ — группа Вейля. Согласно теореме Шевалле всякая $W$-инвариантная полиномиальная функция на $h$ продолжается до $G$-инвариантной полиномиальной функции на $g$.
Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть $V$ — пространство представления группы $G$ и $V_0<V$ — подпространство нулевого веса. Верно ли, что всякое $W$-эквивариантное полиномиальное отображение $f\colon h\to V_0$ продолжается до $G$-эквивариантного полиномиального отображения $F\colon g\to V$? В работе А. Вроера (1995) было получено необходимое и достаточное условие, которому должно удовлетворять представление для того, чтобы это было верно для любого $W$-эквивариантного полиномиального отображения $f$. В изящной переформулировке Д. И. Панюшева это условие состоит в том, что среди весов данного представления не должно быть удвоенных корней.
В докладе будет приведено необходимое и достаточное условие, которому должно удовлетворять данное W-эквивариантное полиномиальное отображение $f\colon h\to V_0$ для того, чтобы его можно было продолжить до $G$-эквивариантного полиномиального отображения $F\colon g\to V$. Этот результат составляет часть совместной работы докладчика с М. Назаровым и С. М. Хорошкиным.