Комбинаторика $B$-орбит и порядок Брюа на инволюциях

Пусть $B$ — борелевская подгруппа в $GL_n(C)$, состоящая из верхнетреугольных матриц с ненулевыми элементами на диагонали. Она естественно действует сопряжениями на пространстве $\mathbf n$ верхнетреугольных матриц с нулями на диагонали и на многообразии $N=\{x\in\mathbf n\mid x^2=0\}$.
A. Melnikov'а показала, что $N$ есть дизъюнктное объединение орбит $O_\sigma$, где $\sigma$ пробегает множество $S_n^2$ инволюций (элементов порядка два) в симметрической группе на $n$ символах, а $O_\sigma$ — орбита матрицы $X_\sigma$, $(i,j)$-й элемент которой отличен от нуля (и равен единице) тогда и только тогда, когда $\sigma(i)=j$ и $i<j$. Более того, на множестве инволюций в симметрической группе возникает частичный порядок вида $\sigma<\tau$ тогда и только тогда, когда $O_\sigma$ содержится в замыкании $O_\tau$ (имеется в виду замыкание в топологии Зарисского). A. Melnikov'ой получено описание этого порядка в комбинаторных терминах расстановок ладей.
С другой стороны, группа $B$ действует на сопряжённом к $\mathbf n$ пространстве $\mathbf n^*$, которое можно отождествить с пространством нижнетреугольных матриц с нулями на диагонали. Обозначим через $\Omega_\sigma$ орбиту матрицы $X_\sigma t$ из $\mathbf n^*$ и положим $N^*$ равным объединению орбит $\Omega_\sigma$, где $\sigma$ вновь пробегает инволюции в симметрической группе. Из действия $B$ на $N^*$ получается другой порядок на множестве инволюций. Мы даём описание этого порядка в терминах расстановок ладей (наши результаты в некотором смысле двойственны результатам A. Melnikov'ой). Затем, используя результаты F. Incitti, мы показываем, что этот порядок совпадает с ограничением порядка Брюа на $S_n^2$. Это даёт новое комбинаторное описание порядка Брюа на инволюциях и ещё одну его геометрическую трактовку.